2.3 SAYI SİSTEMLERİNDE DÖRT İŞLEM

2.3.1 Tanım
Tüm sayı sistemlerinde sayılarda işaret kullanılabilir. Yani pozitif ve negatif sayılarla hesaplama yapılabilir. Bu gerçek göz önünde bulundurularak, onluk sayılarda hesaplama yaparken aşağıdaki ilişkiler kullanılabilir. Bu ilişkiler bütün sayı sistemleri için geçerlidir.

a) +a + (+b) = a + b            b) +a + (-b) = a - b
c) +a - (+b) = a - b              d) +a - (-b) = a + b

 

2.3.2 Binary Sayılarda Dört İşlem

2.3.2.1 Binary sayılarda toplama
Binary (İkili) sayı sistemindeki temel toplama kuralları;

Tablo 2.15 Binary Sayılarda Toplama

İşlem

Cary (Elde)

Sonuç

0+0 = 0

Elde 0

Toplam 0

0+1 = 1

Elde 0

Toplam 1

1+0 = 1

Elde 0

Toplam 1

1+1 = 10

Elde 1

Toplam 0

1+1+1 = 11

Elde 1

Toplam 1

Binary sayı sisteminde iki sayı toplandığında eğer sonuç bir haneye sığmıyorsa bir elde (carry) oluşur.

Örnek 2.71 Aşağıda Binary (ikili) olarak verilen sayıları toplayınız.

 

  
  (1110)2 
  (0110)2
+________ 
 (10100)2
 
  (1101)2 
  (1111)2 
  (1011)2
+________ 
(100111)2
 
     (111011)2
     (011011)2
     (110101)2
     (010010)2
   +________ 
   (10011101)2

2.3.2.2 Binary sayılarda çıkarma
 

2.3.2.2.1 Binary (İkili) sayı sistemindeki temel çıkarma kuralları;

Tablo 2.16 Binary Sayılarda Çıkarma

İşlem

Borç

Sonuç

  0-0 = 0

Borç 0

Sonuç 0

  0-1 = 1

Borç 1

Sonuç 1

  1-0 = 1

Borç 0

Sonuç 1

  1-1 = 0

Borç 0

Sonuç 0

Binary sayı sisteminde de küçük değerlikli bir basamaktan büyük değerlikli bir basamak çıkarıldığında, bir üstteki basamaktan bir borç (borrow) alınır ve çıkarma işlemi tamamlanır.

Örnek 2.72 Aşağıda verilen iki binary (ikili) sayıyı çıkarınız.

         (011)2 
         (001)2
      -________ 
         (010)2

Örnek 2.73 Aşağıda verilen iki binary (ikili) sayıyı çıkarınız.

 

2.3.2.2.2 Tamamlayıcı (Complementer)  Yoluyla Çıkartma İşlemi

2 tür tamamlayıcı vardır. Bunlar;

- 1 tamamlayıcısı

- 2 tamamlayıcısı

Not :
a) (XXXX) binary sayısının 1 tamamlayıcısı (1111) binary sayısından çıkarılarak elde edilir.
b) Pratik olarak bir binary sayının 1 tamamlayıcısı dijitlerinin tersi alınarak bulunur. (0-1; 1-0)
c) Sayının 2 tamamlayıcısı = Sayının 1 tamamlayıcısı + 1’dir.

1 Tamamlayıcısı Yardımıyla Çıkartma :

• İlk önce çıkan binary sayının 1 tamamlayıcısı alınır.
• İkincil olarak ana sayı ile çıkan sayının tamamlayıcısı toplanır.
• Eğer işlem sonucunda artan 1 var ise sonuç pozitif olup, gerçek sonuç için toplam değerine 1 eklenir. 
• Eğer işlem sonucunda artan 1 yok ise sonuç negatif olup, gerçek sonuç eldeki değerin 1 tamamlayıcısıdır.

2 Tamamlayıcısı Yardımıyla Çıkartma :

• İlk önce çıkan binary sayının 2 tamamlayıcısı alınır.
• İkinci aşamada ana sayı ile çıkan sayının tamamlayıcısı toplanır.
• İşlem sonucu artan “1” olursa bu “1” sonucun pozitif olduğunu gösterir ve dikkate alınmaz.
• İşlem sonucunda artan “1” yoksa sonuç negatif demektir. Gerçek sonuç elde edilen sayının 2 tamamlayıcısı alınarak bulunur.

2.3.2.3 Binary sayılarda çarpma
Binary (İkili) Sayılarla Çarpma işlemi Decimal (onlu) sayı sisteminin aynısı olup temel çarpma kuralları aşağıdaki gibidir;

Tablo 2.17 Binary Sayılarda Çarpma

İşlem

Sonuç

0x0

0

0x1

0

1x0

0

1x1

1

Örnek 2.74 Aşağıdaki iki Binary (ikili) sayının çarpımını hesaplayınız.

     1011
      101
    x_____ 
     1011
    0000
   1011
 +________
   110111 
     10111
       110 
    x_____
     00000   
    10111
   10111  
+_________
  10001010

Örnek 2.75  Aşağıdaki iki binary (ikili) sayının çarpımını hesaplayınız.

2.3.2.4 Binary sayılarda bölme
Binary (İkili) Sayılarda kullanılan temel bölme kuralları aşağıdaki gibidir. Binary (ikili) sayılardaki bölme işlemi, decimal (onlu) sayı sisteminin aynısıdır.

Tablo 2.18 Binary Sayılarda Bölme

İşlem

Sonuç

0÷0

0

0÷1

0

1÷0

0

1÷1

1

Örnek 2.76 (1111101)2 ÷ (101)2  =  ( ? )2

1111101
101
-_____
0101
101
-____
0101
101
-____
000

  
  11001

Sonuç (11001)2  olarak bulunur.

Örnek 2.77 (110)2 ÷ (10)2 = (?)2

Örnek 2.78 (1101)2 ÷ (11)2 = (?)2

 

2.3.3 Oktal Sayılarda Dört İşlem

2.3.3.1 Oktal sayılarda toplama
Decimal sayı sistemindeki bütün toplama kuralları oktal sayı sisteminde de geçerlidir.

Örnek 2.79 Aşağıda verilen toplama işlemlerini gerçekleştiriniz. 

  
  (263)8
  (157)8
+_______
  (442)8
      

işlemin yapılışı

1.Haneler

 3+7 = 2   Elde 1
 

2.Haneler

 Elde1 + 6 +5 = 4  Elde 1

3.Haneler

 Elde1 + 2 + 1= 4

Bu aritmetik işlemi, sekizli tabanda verilen sayıyı, bilinen bir sayı sistemine dönüştürerek gerçekleştirebiliriz. Aşağıda oktal sayının binary karşılıkları yazılarak aritmetik işlem gerçekleştirilmiştir

  (2   6   3)8  ( 1  5   7)8

  010 110 011   001 101 111
(010110011)2 (001101111)2 +_____________ (100100010)2
Sonuç 
(100 100 010)2
 (   4        4        2 )8

Örnek 2.80 Aşağıda verilen toplama işlemini gerçekleştiriniz.

2.3.3.2 Oktal (Sekizli) sayılarda çıkarma
Decimal sayı sistemindeki bütün çıkarma kuralları oktal sayı sisteminde geçerlidir.

Örnek 2.81 Aşağıda verilen çıkarma işlemini gerçekleştirin.

  
  (514)8
  (452)8
-_______
  (042)8
      

işlemin yapılışı

1.Haneler

 4-2 = 2
 

2.Haneler

 (Borç8+1) - 5 = 4

3.Haneler

 Kalan4-4 = 0

Örnek 2.82 Aşağıda verilen çıkarma işlemini gerçekleştirin.

  
  (3500)8
  (1545)8
-_______
  (1733)8
  

işlemin yapılışı
 

 

2.3.3.2.1 Tamamlayıcı Yardımıyla Çıkartma

7 ve 8 tamamlayıcısı olmak üzere iki adet tamamlayıcısı vardır. 7 tamamlayıcısı binary sistemdeki 1 tamamlayıcısına; 8 tamamlayıcısı ise 2 tamamlayıcısına benzer.
• 7 tamamlayıcısı bulunurken her dijitin 7 sayısından çıkarılması gerekir.
• 8 tamamlayıcısı = 7 tamamlayıcısı +1

7 tamamlayıcısı ile Çıkartma :

• İlk olarak oktal sayının 7 tamamlayıcısı bulunur.
• Ana sayı ile çıkan sayının 7 tamamlayıcısı toplanır.
• Eğer belirli basamak sayısını taşan “1” varsa sonuç pozitif olup, bu “1” sağdakilerle toplanılarak gerçek sonuç bulunur.
• Taşan “1” yoksa sonuç negatif olup, gerçek sonuç sayının 7 tamamlayıcısıdır.

8 tamamlayıcısı ile Çıkartma :

• Çıkan sayının 8 tamamlayıcısı bulunduktan sonra bu sayı ana sayı ile toplanır.
• Eğer belirli basamak sayısını taşan “1” var ise toplam sonucu pozitiftir ve bu “1” dikkate alınmaz
• Taşan “1” yok ise sonuç negatiftir ve gerçek sonuç sayının 8 tamamlayıcısıdır.

2.3.3.3 Oktal sayılarda çarpma
Decimal sayılar arasındaki sayılar arasında çarpma işlemi yapılırken, ya decimal sayılara dönüşüm yapıldıktan sonra çarpım yapılır ve sonuç istenilen sayı sistemine çevrilir ya da doğrudan çarpım yapılır.

 

 Örnek 2.83 Aşağıda verilen çarpma işlemini gerçekleştiriniz.
 

 

 

(5

6)8

 

İlk işlem 6 ile 7 çarpılır. Decimal olarak 42 sayısı octal olarak (52) yazılır. 2.işlem 5 ile 7 çarpılır. Decimal olarak 35 sayısı octal olarak (43) yazılır. 3.işlem 6x2=12 sayısı octal sayı sisteminde 14 olarak yazılır. 3’ün altına 4, 4’ün altına 1 gelecek şekilde yazılır. 4.işlem olarak 5x2=10 sayısı octal olarak 12, 1’in altına 2 gelecek şekilde yazılır. Yazılan sayılar octal olarak toplanır.

 

 

(2

7)8

 

 

x

____

 

 

 

5

2

 

 

 

43

 

 

 

 

14

 

 

 

1

2

 

 

 

+_____

 

 

2

04

2

 

 

Örnek 2.84 Aşağıda verilen çarpma işlemini gerçekleştiriniz.

 

2.3.3.4 Oktal sayılarda bölme
Bölme işlemi decimal sayılarda olduğu gibidir. Dikkat edilmesi gereken, çıkarma işlemini yaparken oktal sayılarda çıkarma işleminin olduğu unutulmamalıdır.

Örnek 2.85 Aşağıda verilen bölme işlemlerini gerçekleştiriniz.
 

 

 (428) 8

 (13) 8

 

 

 (360) 8

 (30) 8

 

  390

 (32) 8

 

 

  30

 (12) 8

 

-_____

  

 

 

-____

 

 

  032

  

 

 

    60

 

 

    26

  

 

 

    60

 

 

-_____

  

 

 

-____

 

 

      4

  

 

 

    00

 

 

2.3.4 Hexadecimal Sayılarda Dört İşlem

2.3.4.1 Hexadecimal sayılarda toplama
Hexadecimal sayılarla iki şekilde toplama işlemini gerçekleştirebiliriz. Birinci yöntem sayının direk toplanması, diğer bir yöntem ise Hexadecimal sayının herhangi bir sayı sistemine dönüştürülmeden toplama işleminin gerçekleştirilmesi. Aşağıdaki örnekte her iki şekilde gösterilmektedir.

Örnek 2.86 Aşağıda verilen toplama işlemlerini gerçekleştirin.

 
 ( A 1 7 )16      
( 1 F 3 )16

işlemin yapılışı

1.Haneler

 3+7 = 10(A)
+_________
( C 0 A )16		  

2.Haneler

 1+F = 0 Elde1

3.Haneler

 Elde1+A+1 = C

Örnek 2.87 Aşağıdaki iki Hexadecimal sayıyı ikili sayılara çevirerek toplayın. 

(56B)16 + (47A)16  = ?

  

( 5    6    B )16   ( 4      7     A )16
 0101 0110 1011     0100   0111  1010
 
  (010101101011)2
  (010001111010)2
+________________
  (010011100101)2
  
(0100 1110  0101)2
 ( 9    E     5 )16

Sonuç (56B)16 + (47A)16  = (9E5)16 olarak bulunur.

Örnek 2.88 Aşağıda verilen toplama işlemini gerçekleştirin.

  (A13)16

  (264)16

+______

  (C77) 16

2.3.4.2 Hexadecimal sayılarda çıkarma
Hexadecimal sayılarda çıkartma işlemleri yapılırken; çıkarma işlemini onaltılı tabanda direkt olarak yapabiliriz.

Örnek 2.89 Aşağıda verilen çıkarma işlemini gerçekleştirin.

(56B)16 – (47A)16= (0F1)16

Tamamlayıcı yolu ile çıkartma işlemi :

• 15 ve 16 tamamlayıcısı olmak üzere iki adet tamamlayıcı vardır. 15 tamamlayıcısı binary de ki 1 tamamlayıcısına ve oktal da ki 7 tamamlayıcısına benzer.
• 16 tamamlayıcısı binary de ki 2 tamamlayıcısına ve oktal da ki 8 tamamlayıcısına benzer.
• Sayının 1 tamamlayıcısı sayının F’den çıkarılmasıyla elde edilir.

Örnek 2.90 Aşağıda verilen çıkarma işlemini gerçekleştirin.

(F9A40)16 – (AF020)16= (4AA20)16

2.3.4.3 Hexadecimal sayılarda çarpma
Hexadecimal sayılarla çarpma işlemini direkt olarak onaltılı tabanda yapabiliriz.

Örnek 2.91 Aşağıda verilen çarpma işlemini gerçekleştirin.

           ( 1  A  C )16

           (     2   B )16
   x
   -------------------

         1  2  0  C

         3  4  8
   +
   -------------------

         4  6  8  C

 

Örnek 2.92 Aşağıda verilen çarpma işlemini gerçekleştirin.

 

     (13)16

     (15)16

 x_____

      0F

    05

    13

 +______

   (18F)16

 

2.3.4.4 Hexadecimal sayılarda bölme
 Hexadecimal sayılarla bölme işlemi ya direkt olarak hexadecimal (onaltılı) tabanda yada decimal (onlu) tabana çevrim yaparak gerçekleştirilebilir.

Örnek 2.93 Aşağıda verilen bölme işlemini gerçekleştirin.

 

 (FD2C56) 16

 (5D) 16

 

 

  BA

 (2B8E8) 16

 

 

-_____

  

 

 

  432

  

 

 

  3FF

  

 

 

-_____

  

 

 

  033C

  

 

 

    2E8

 

 

 

-_____

 

 

 

    0545

 

 

 

      516

 

 

 

 -_____

 

 

 

      02F6

 

 

 

        2E8

 

 

 

   -_____

 

 

 

            E

 

 

Örnek 2.94 Aşağıda verilen bölme işlemini gerçekleştirin.

(18F) 16 : (15) 16 = (…?…)16

 

(18F) 16 = 1x162+8x161+Fx160

(18F) 16 = 256+128+15

(18F) 16 = (399) 10

 

(15) 16 = 1x161+5x160

(15) 16 = 16+5

(15) 16 = 21

 

 

  399

 21

 

 

  19

16

 

  399

 19

 

 

  16

1

 

-___

  

 

 

-____

 

 

     0

  

 

 

    3

 

 

(18F) 16 : (15) 16 = (13)16

 

 

 Tablo 2.19 Hexadecimal Sayılarda Toplama


+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E