6.3 KARNAUGH HARİTALARI YARDIMIYLA LOJİK İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ

 

6.3.1 Tanım
 Karnaugh haritaları yardımı ile yapılan sadeleştirme işlemi indirgenmiş ifadenin formuna göre çarpımların toplamı veya toplamların çarpımı olmak üzere iki ayrı şekilde olabilir. Aksi belirtilmedikçe yapılan indirgemeler çarpımların toplamı formunda kabul edilecektir.

6.3.2 Çarpımların Toplamı İle Sadeleştirme
Lojik ifadeleri Karnaugh haritaları yardımı ile çarpımların toplamı formunda indirgerken;

I.  Doğruluk tablosundan alınan değerler Karnaugh haritasına aktarılır.

II. Karnaugh haritasında “1” olan kareler uygun bileşkelere alınır.

a) Bileşke oluştururken içinde “1” olan karelerin sayısı 2n kadar olmalıdır.

b) Bir kare birden fazla bileşke içinde bulunabilir.

c) Karelerin bileşke oluşturabilmeleri için birbirlerine komşu olmaları gerekmektedir.

d) Karşılıklı köşe ve kenarlardaki kareler birbirlerine komşu kare sayılırlar.

e) 2n şeklinde olmayan bileşke teşkil edilemez .
f) En uygun basitleştirmeyi sağlamak için bir kare birden fazla bileşkeye dahil edilebilir.
g) Bileşkeler minimum bir kareyi, maximum değişken sayısının 2n şeklindeki kareyi   içerirler.

III. Bileşke sonuçları VEYA’ lanır ve indirgenmiş eşitlik elde edilir.

a) Bileşke içinde durum değiştiren değişkenler varsa ( 1’den 0’a veya 0’dan 1’e) bu değişkenler dikkate alınmaz.

b) Bileşke içindeki karelerinde durum değiştirmeyen değişkenler varsa indirgemede bu değişkenler dikkate alınır. Eğer durum değiştirmeyen değişkenler Lojik-0 ise değişkenlerin değili, Lojik-1 ise değişkenlerin kendisi yazılır.

c) Bileşke sonuçları her zaman değişkenlerin çarpımı şeklindedir.

 

Örnek 6.7 Aşağıdaki boolean fonksiyonunu çarpımların toplamı formunda sadeleştiriniz.

Q(A, B, C, D) = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 15)

Çözüm: Verilen Boolean fonksiyonundaki mintermler haritada '1' ile temsil edilen yerleri göstermektedir. Fonksiyonu çarpımların toplamı formuna indirgemek için verilen mintermler haritada uygun yerlere yazılır. Haritada '1' olan kareler uygun bileşkelere alınarak indirgenmiş eşitlik çarpımların toplamı formunda yazılır.

 

 Şekil 6.24 Karnaugh Haritası Gösterimi

Q = + B D olacaktır.
 

Örnek 6.8 Aşağıdaki boolean fonksiyonunu çarpımların toplamı formunda sadeleştiriniz.

Q(A, B, C, D) = (1, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14)

Çözüm: Verilen boolean fonksiyonundaki mintermler haritada '1' ile temsil edilen yerleri göstermektedir. Fonksiyonu çarpımların toplamı formuna indirgemek için verilen mintermler haritada uygun yerlere yazılır. Haritada '1' olan kareler uygun bileşkelere alınarak indirgenmiş eşitlik çarpımların toplamı formunda yazılır.

Şekil 6.25 Çarpımların toplamı fonksiyonu gösterimi

Q = A. + D + B C
 

6.3.3 Toplamların Çarpımı ile Sadeleştirme
Lojik ifadeleri Karnaugh haritaları yardımı ile toplamların çarpımı formunda sadeleştirme yapmak için aşağıdaki işlem sırası takip edilir:

I.   Doğruluk tablosundan alınan değerler Karnaugh haritasına aktarılır.

II.  Karnaugh haritasında “0” olan kareler uygun bileşkelere alınır.

III. Bileşke sonuçları VEYA’lanır ve indirgenmiş eşitlik elde edilir.

a) Bileşke içinde durum değiştiren değişkenler varsa ( 1’den 0’a veya 0’dan 1’e) bu değişkenler dikkate alınmaz.

b) Bileşke içindeki karelerde durum değiştirmeyen değişkenler varsa indirgemede bu değişkenler dikkate alınır. Eğer durum değiştirmeyen değişkenler Lojik-0 ise değişkenin değili, Lojik-1 ise değişkenin kendisi yazılır.

IV. Elde edilen bu ifade gerçek fonksiyonun değilidir. İfadenin bir kez daha değili alınarak gerçek fonksiyon toplamların çarpımı formuna dönüştürülür.

 

Örnek 6.9 Aşağıdaki boolean fonksiyonu toplamların çarpımı yöntemi ile sadeleştirelim.

Q(A, B, C, D) = (0, 2, 4, 6, 9, 11)

Çözüm: Verilen fonksiyondaki mintermler haritada '1' ile temsil edilen yerleri göstermektedir.Fonksiyonda bulunmayan mintermler haritada '0' olarak görülür ve bu Q fonksiyonunun tümleyenini göstermektedir.Fonksiyonu toplamlarım çarpımı şeklinde sadeleştirmek için, fonksiyonun '0' olduğu durumlar haritada uygun yerlere yazılır.

Haritada '0' olan karelerin bileşkesiyle elde edilen ifade Q fonksiyonunun değilidir.

Şekil 6.26 Fonksiyonun toplamların çarpımı şeklinde gösterimi

İndirgenmiş fonksiyona Demorgan teoremi uygulandığında sadeleşen fonksiyon toplamların çarpımı şeklinde olacaktır.

= .D + A.B + A.

= Q = (A + ).( + ).( + D)

Örnek 6.10 Aşağıdaki boolean fonksiyonu toplamların çarpımı yöntemi ile sadeleştirelim.

Q(A, B, C, D) = (1, 5, 6, 7, 8, 9, 12)

Çözüm: Verilen fonksiyondaki mintermler haritada '1' ile temsil edilen yerleri göstermektedir.Fonksiyonda bulunmayan mintermler haritada '0' olarak görülür ve bu Q fonksiyonunun tümleyenini göstermektedir.Fonksiyonu toplamlarım çarpımı şeklinde sadeleştirmek için, fonksiyonun '0' olduğu durumlar haritada uygun yerlere yazılır.

Haritada '0' olan karelerin bileşkesiyle elde edilen ifade Q fonksiyonunun değildir.

Şekil 6.27 Fonksiyonun toplamların çarpımı şeklinde gösterimi

= . + . C + A B D

= Q = (A + C + D) . (B + ) . ( + + )
 

6.3.4 Lojik İfadenin Ve-Değil veya Veya-Değil Kapılarına Dönüştürülmesi

Sayısal tasarımcılar tasarladıkları devrelerde çoğu zaman Ve-Değil yada Veya-Değil kapılarını, Ve yada Veya kapılarından daha fazla kullanılır. Bunun nedenleri Ve-Değil, Veya Değil kapılarının üretiminin daha kolay olması ve bütün sayısal mantık ailelerinde kullanılan temel kapılar olmasıdır.Ve,Veya ve Değil kapıları ile verilen Boolean fonksiyonları eşdeğer Ve-Değil ve Veya-Değil mantık şemalarına dönüştürmek gerekir. Aşağıdaki tabloda temel dönüşümler gösterilmiştir.

 

Şekil 6.28 Demorgan Gösterimi


6.3.4.1 Ve-Değil Lojik Diyagramları

Karnough haritaları ile elde edilen sadeleştirilmiş eşitliklerin VE-Değil (NAND) lojik diyagramlarına dönüştürülmesi için:

I. Karnough haritası çarpımların toplamı formunda sadeleştirilir.

II. Elde edilen sadeleşmiş eşitlikte terimler birden fazla değişkenli Ve ifadelerinden oluşuyorsa her bir terimin VE-Değil eşdeğeri yazılır.

III. VE-Değile dönüştürülmüş terimler değiştirilmeden terimler arasındaki Veya ifadeleri fonksiyonun değili alınarak VE ifadelerine dönüştürülür.

IV. İfadenin bir daha değili alınarak gerçek fonksiyona ulaşılır.
 

Örnek 6.11 Aşağıda verilen lojik fonksiyonu VE-Değil kapılarını kullanarak gerçekleştirelim.

Q(A,B,C)=Σ(1,2,3,4,5,7)

 

Şekil 6.29 Karnaugh Haritası

Sadeleşmiş fonksiyon şu şekilde olacaktır:

Q = C+ A.B + A.B

İfadenin bir kez değili alınırsa ifade içersindeki bütün VEYA işlemleri VE işlemine, VE

işlemleri ise VE-Değil işlemine dönüşecektir.

Q = C+A.B+A.B

 

ifadenin birkez daha değili alınarak fonksiyon VE-Değil olarak ifade edilebilir.

 

 

Şekil 6.30 Devre Şeması
 

 6.3.4.2 Veya-Değil Lojik Diyagramları

Karnough haritaları ile elde edilen sadeleştirilmiş Veya-Değil (NOR) lojik diyagramlarına dönüştürülmesi için:

I. Karnough haritası toplamların çarpımı formunda sadeleştirilir.

II. Elde edilen sadeleşmiş eşitlik terimler birden fazla değişkenli Ve ifadelerinden oluşuyorsa her bir terimin birden Ve-Değil eşdeğeri yazılır.

III. Ve-Değile dönüştürülmüş terimler değiştirilmeden terimler arasındaki Veya ifadeleri fonksiyonun bir kez Değil alınarak Ve ifadelerine dönüştürülür.

IV. İfadenin bir kez Değili alınarak gerçek fonksiyona ulaşılır.
 

Örnek 6.12 Aşağıda verilen lojik fonksiyonu VEYA-Değil kapılarını kullanarak gerçekleştirelim.

Q(A,B,C) = Π(0,1,2,4,6,7)

 

Şekil 6.31 Karnaugh Haritası

 

Elde edilen ifade gerçek fonksiyonun değilidir

Q=C+A.B+A.B

ifade içindeki VE'li terimlerin VEYA-Değil karşılıkları yazılır.

olacaktır. İfadenin bir kez daha değili alınarak fonksiyonun VEYA-Değil olarak ifade edilebilir.

 

 

Şekil 6.32 Devre Şeması